A enumerabilidade dos numeros racionais

É realmente muito difícil visualizar os números racionais como um conjunto enumerável, a final ele vai de menos infinito a mais infinito e a cada dois números inteiros (que também são racionais) existem uma infinidade de números racionais entre estes. Então como esse conjunto pode ser enumerável? Como podemos fazer uma enumeração de todos os números racionais?

Observação 1. Antes de ler este artigo, sugiro que leia o post publicado sobre os números reais e sua propriedade de ser não-enumerável. Assim, se você irá criar uma noção sobre o que é conjuntos enumeráveis. Confira clicando AQUI.

Sua demonstração não é o tipo de demonstração enorme, mas exige uma boa criatividade do estudante, pois o que é construído na própria demonstração e nos seus pré-requisitos é, de certa forma, um pouco trabalhoso. O que fazemos para conseguir mostrar que o conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais é enumerável é montar um produto cartesiano entre dois conjuntos $\mathbb{Z}$ de numeros inteiros depois uma função deste produto à $\mathbb{Q}$.

Antes de mostrar formalmente esta proposição, será enunciado (e demonstrado) alguns teoremas que serão usados.

Teorema 1. Todo subconjunto de $\mathbb{N}$ é um conjunto enumerável.

Este não será provado, já que é fácil construir sua demonstração, mas qualquer duvida, comente nesse post e eu tentarei responder.


Teorema 2. Sejam $X$, $Y$ conjuntos enumeráveis. O produto cartesiano $X \times Y$ é enumerável.

Antes dessa prova veja o seguinte resultado.

Lema 1. Seja $f:X\rightarrow Y$ injetiva. Se $Y$ é enumerável então $X$ também é. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração:Com efeito, como $Y$ é enumerável, considere a bijeção $g:\mathbb{N}\rightarrow Y$. então $g^{-1}\circ f:X\rightarrow \mathbb{N}$ é uma bijeção de $X$ sobre um subconjunto de $\mathbb{N}$ o que é enumerável. No caso particular, se $X\subset Y$ tome uma função inclusão de $X$ à $Y$.$\blacksquare$

Demonstração (do teorema 2): Se $X,Y$ são enumeráveis então existem sobrejeções $f:\mathbb{N}\rightarrow X$ e $g:\mathbb{N}\rightarrow Y$. Então a função $h:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow X\times Y$ definida por $h(m,n)=(f(m),g(n))$ é sobrejetiva. Se mostrarmos que $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ é enumerável, temos o resultado. Para isso, considere a aplicação $\phi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ definida por $\phi(m,n)=2^m3^N$. Pela unicidade da decomposição de um numero em fatores primos, $\phi$ é injetiva. Daí como $\mathbb{N}$ é enumerável pelo Lema 1, $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tambem é enumerável.$\blacksquare$

A prova de que os racionais são enumeráveis não é difícil. Mas acho importante conhecer esse resultado e como o demonstrar.

Proposição. O conjunto $\mathbb{Q} = \{m/n;m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}$ é enumeravel.
Demonstração: De fato, seja $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}-{0}$.  Podemos definir uma função $f:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^* \rightarrow \mathbb{Q}$ definida por $f(m,n)=m/n$. Daí claramente temos uma função sobrejetiva, donde segue o resultado.$\blacksquare$